Resumo da Resposta
As medidas estatísticas calculadas para a distribuição de estaturas dos 100 alunos são: Média de 1,705 m, Moda (Czuber) de 1,725 m, Moda (King/Médio) de 1,75 m, Mediana de 1,7125 m, e o intervalo interquartil ([Q1, Q3]) de [1,6333 m; 1,775 m].
Resolução Detalhada
Para resolver este problema, precisamos organizar os dados fornecidos na tabela de frequência e aplicar as fórmulas específicas para cada medida de tendência central e dispersão.
Dados Iniciais e Tabela Auxiliar
Primeiro, identificamos o tamanho da amostra ($N$) e construímos uma tabela com as frequências acumuladas ($Fi$) e os pontos médios das classes ($xi$). O número total de alunos é $N = 100$.
| Classe (Estatura) | Frequência ($f_i$) | Ponto Médio ($x_i$) | Frequência Acumulada ($F_i$) |
|---|
| 1,40 — 1,50 | 5 | 1,45 | 5 |
| 1,50 — 1,60 | 10 | 1,55 | 15 |
| 1,60 — 1,70 | 30 | 1,65 | 45 |
| 1,70 — 1,80 | 40 | 1,75 | 85 |
| 1,80 — 1,90 | 10 | 1,85 | 95 |
| 1,90 — 2,00 | 5 | 1,95 | 100 |
O intervalo de classe ($h$) é constante: $1,50 - 1,40 = 0,10$ m.
4.4.1. A Estatura Média
A média aritmética ponderada é calculada multiplicando cada ponto médio pela sua respectiva frequência, somando os resultados e dividindo pelo total de elementos.
$$ \bar{x} = \frac{\sum (xi \cdot fi)}{N} $$
Calculando os produtos ($xi \cdot fi$):
- $1,45 \times 5 = 7,25$
- $1,55 \times 10 = 15,50$
- $1,65 \times 30 = 49,50$
- $1,75 \times 40 = 70,00$
- $1,85 \times 10 = 18,50$
- $1,95 \times 5 = 9,75$
Somatório: $\sum (xi \cdot fi) = 170,50$
$$ \bar{x} = \frac{170,50}{100} = 1,705 \text{ m} $$
4.4.2. A Estatura Modal (Czuber)
A fórmula de Czuber interpola a posição da moda dentro da classe modal (a classe com maior frequência).
Dados da classe modal:
- Classe: $[1,70 ; 1,80[$
- Limite inferior ($l_{mod}$): $1,70$
- Frequência modal ($f_{mod}$): $40$
- Frequência anterior ($f_{ant}$): $30$
- Frequência posterior ($f_{pos}$): $10$
- Amplitude ($h$): $0,10$
$$ Mo = l{mod} + \frac{f{mod} - f{ant}}{(f{mod} - f{ant}) + (f{mod} - f_{pos})} \times h $$
Substituindo os valores:
$$ Mo = 1,70 + \frac{40 - 30}{(40 - 30) + (40 - 10)} \times 0,10 $$
$$ Mo = 1,70 + \frac{10}{10 + 30} \times 0,10 $$
$$ Mo = 1,70 + \frac{10}{40} \times 0,10 $$
$$ Mo = 1,70 + 0,25 \times 0,10 = 1,70 + 0,025 $$
$$ Mo = 1,725 \text{ m} $$
4.4.3. A Estatura Mais Freqüente (King)
Quando se pede o método de King ou a "estatura mais freqüente" sem especificar interpolação, considera-se geralmente o ponto médio da classe modal como uma estimativa simples da moda.
$$ x_{modal} = \frac{\text{Limite Inferior} + \text{Limite Superior}}{2} $$
$$ x_{modal} = \frac{1,70 + 1,80}{2} = 1,75 \text{ m} $$
4.4.4. A Estatura Mediana
A mediana divide a distribuição em duas partes iguais. A posição da mediana é $N/2 = 50$.
Verificando a frequência acumulada, o valor 50 está na classe $[1,70 ; 1,80[$ (pois $F{anterior} = 45$ e $F{atual} = 85$).
Dados da classe mediana:
- Limite inferior ($l_{med}$): $1,70$
- Frequência acumulada anterior ($F_{ant}$): $45$
- Frequência da classe ($f_{med}$): $40$
- Amplitude ($h$): $0,10$
$$ Me = l{med} + \frac{\frac{N}{2} - F{ant}}{f_{med}} \times h $$
Substituindo:
$$ Me = 1,70 + \frac{50 - 45}{40} \times 0,10 $$
$$ Me = 1,70 + \frac{5}{40} \times 0,10 $$
$$ Me = 1,70 + 0,125 \times 0,10 = 1,70 + 0,0125 $$
$$ Me = 1,7125 \text{ m} $$
4.4.5. Limites dos 50% centrais (1º e 3º Quartis)
Precisamos calcular Q1 (posição $N/4 = 25$) e Q3 (posição $3N/4 = 75$).
Cálculo de Q1 (Posição 25):
Está na classe $[1,60 ; 1,70[$ ($F_{ant}=15$, $f=30$).
$$ Q1 = 1,60 + \frac{25 - 15}{30} \times 0,10 = 1,60 + \frac{10}{30} \times 0,10 \approx 1,60 + 0,0333 = 1,6333 \text{ m} $$
Cálculo de Q3 (Posição 75):
Está na classe $[1,70 ; 1,80[$ ($F_{ant}=45$, $f=40$).
$$ Q3 = 1,70 + \frac{75 - 45}{40} \times 0,10 = 1,70 + \frac{30}{40} \times 0,10 = 1,70 + 0,075 = 1,775 \text{ m} $$
Os limites que contêm 50% das estaturas centrais são 1,6333 m e 1,775 m.
Análise Estatística
- Simetria: A média ($1,705$), mediana ($1,7125$) e moda ($1,725$) são valores muito próximos. Isso indica que a distribuição é quase simétrica, com leve assimetria positiva (cauda para a direita).
- Concentração: A maioria dos alunos (40%) está concentrada na faixa de 1,70m a 1,80m.
- Dispersão: O intervalo interquartil (IQR) tem amplitude de aproximadamente $0,14$ metros ($1,775 - 1,6333$), indicando que a altura da metade central da turma varia pouco.
Conclusão
As medidas de tendência central confirmam que a estatura típica da classe situa-se entre 1,70 m e 1,75 m. Os cálculos demonstram como diferentes métodos (média, moda interpolada, mediana) convergem para um valor próximo, reforçando a consistência dos dados apresentados.