Beto está montando um quadrado com quatro peças retangulares. Ele já usou essas três peças: peças Qual será a quarta peça?

Alternativa [Opções não visíveis na imagem]

A questão pede para identificar a quarta peça retangular que completa um quadrado junto com as três peças mostradas. Como as alternativas (A, B, C, D, E) não aparecem na imagem, vamos deduzir matematicamente quais devem ser as características da peça correta.

Análise das Peças

Primeiro, calculamos a área de cada peça existente contando os quadradinhos (unidades de área):

• Peça 1: Retângulo de 2 unidades de largura por 4 unidades de altura.
  $$ \text{Área}_1 = 2 \times 4 = 8 \text{ unidades} $$
• Peça 2: Retângulo de 4 unidades de largura por 2 unidades de altura.
  $$ \text{Área}_2 = 4 \times 2 = 8 \text{ unidades} $$
• Peça 3: Retângulo de 6 unidades de largura por 1 unidade de altura.
  $$ \text{Área}_3 = 6 \times 1 = 6 \text{ unidades} $$

Somando as áreas conhecidas:
$$ \text{Área Total Atual} = 8 + 8 + 6 = 22 \text{ unidades} $$

Lógica do Quadrado

Para formar um quadrado, a área total final deve ser um número quadrado perfeito ($n^2$). Além disso, o lado do quadrado ($n$) precisa ser grande o suficiente para acomodar a maior dimensão de qualquer peça.

1. Restrição Geométrica: A Peça 3 tem comprimento 6. Portanto, o lado do quadrado ($n$) deve ser pelo menos 6 ($n \geq 6$).
2. Teste para $n = 6$:

• Área do quadrado: $6^2 = 36$.
• Área faltante: $36 - 22 = 14$.
• Dimensões possíveis para área 14: $1 \times 14$ ou $2 \times 7$.
• Problema: Nenhuma dessas combinações cabe em um quadrado de lado 6 (pois 7 e 14 são maiores que 6). Logo, o quadrado não pode ser $6 \times 6$.

1. Teste para $n = 7$:

• Área do quadrado: $7^2 = 49$.
• Área faltante: $49 - 22 = 27$.
• Dimensões possíveis: $3 \times 9$.
• Problema: O lado 9 excede o tamanho do quadrado ($n=7$).

1. Teste para $n = 8$:

• Área do quadrado: $8^2 = 64$.
• Área faltante: $64 - 22 = 42$.
• Dimensões possíveis: Fatores de 42 incluem $6 \times 7$.
• Sucesso: Tanto 6 quanto 7 são menores ou iguais ao lado 8. Esta configuração é geometricamente possível.

Conclusão

A peça que falta deve preencher a lacuna para que a área total seja 64 unidades.

• Área necessária: 42 unidades.
• Dimensões prováveis: $6 \times 7$ (ou $7 \times 6$).

Alternativa Correta: Procure a opção que mostra um retângulo com área 42 e dimensões 6 por 7.