Alternativa C
Para resolver esta questão, devemos analisar cada uma das quatro afirmações individualmente para determinar se são verdadeiras ou falsas.
Análise Detalhada
Afirmação I: O algarismo das unidades do número $3^{100}$ é 3.
Esta afirmação é Falsa.
Para encontrar o algarismo das unidades de potências de 3, observamos a periodicidade das unidades:
- $3^1 \rightarrow 3$
- $3^2 \rightarrow 9$
- $3^3 \rightarrow 27$ (unidade 7)
- $3^4 \rightarrow 81$ (unidade 1)
- $3^5 \rightarrow 243$ (unidade 3)
O ciclo se repete a cada 4 potências: $\{3, 9, 7, 1\}$. Como o expoente é 100, verificamos a divisão por 4:
$$100 \div 4 = 25 \text{ com resto } 0$$
Um resto 0 indica que estamos no último elemento do ciclo, que é 1. Portanto, o algarismo das unidades é 1, não 3.
Afirmação II: O MDC dos números 3200, 4800 e 5600 é 800.
Esta afirmação é Verdadeira.
Podemos simplificar os números dividindo por 100 para facilitar a análise: 32, 48 e 56.
Encontramos o Máximo Divisor Comum (MDC) desses números reduzidos:
- Fatoração de 32: $2^5$
- Fatoração de 48: $2^4 \times 3$
- Fatoração de 56: $2^3 \times 7$
O MDC é formado pelos fatores comuns com menor expoente: $2^3 = 8$.
Voltando aos números originais, multiplicamos por 100:
$$\text{MDC}(3200, 4800, 5600) = 8 \times 100 = 800$$
Afirmação III: O número 2.205.000 possui 48 divisores positivos.
Esta afirmação é Falsa.
Primeiro, fazemos a decomposição em fatores primos de $2.205.000$:
$$2.205.000 = 2205 \times 1000$$
$$2205 = 5 \times 441 = 5 \times 21^2 = 5 \times (3 \times 7)^2 = 3^2 \times 5^1 \times 7^2$$
$$1000 = 10^3 = 2^3 \times 5^3$$
Juntando tudo:
$$2.205.000 = 2^3 \times 3^2 \times 5^4 \times 7^2$$
Calculamos a quantidade de divisores somando 1 a cada expoente e multiplicando:
$$d(n) = (3+1) \times (2+1) \times (4+1) \times (2+1)$$
$$d(n) = 4 \times 3 \times 5 \times 3 = 180$$
O número possui 180 divisores, não 48.
Afirmação IV: Um número natural que possui 23 divisores positivos é um quadrado perfeito.
Esta afirmação é Verdadeira.
Seja $n$ esse número. Se ele tem 23 divisores, e 23 é um número primo, a fórmula da contagem de divisores deve ser apenas $(a_1 + 1) = 23$.
Isso implica que $a_1 = 22$.
Logo, a fatoração do número é da forma $p^{22}$, onde $p$ é um número primo.
Como o expoente 22 é par, podemos escrever:
$$p^{22} = (p^{11})^2$$
Qualquer número na forma $x^2$ é um quadrado perfeito. Portanto, a afirmação está correta.
Conclusão
- Afirmação I: Falsa
- Afirmação II: Verdadeira
- Afirmação III: Falsa
- Afirmação IV: Verdadeira
As únicas afirmações corretas são II e IV, correspondendo à alternativa C.