Seja $ rac{1}{R} = rac{1}{R1} + rac{1}{R2}$ obter uma expressão para R Expandir $(a+b)^2$ Obter uma expressão para $(a-b)^2$ O diâmetro de um círculo é $10^{-2}$ cm. Determine o comprimento do círculo. Quanto vale 4 dividido por $ rac{1}{2}$? Determine $ rac{10^{16}}{10^4}$ Considerando o comprimento da circunferência da Terra igual a 40.000 km determine o Raio da Terra. Escrever os seguintes números em termos de potência de base 10. 0,5; 10.000; 0,035; 85; 300.000 Suponha que a velocidade da luz é de 300.000 km/h . Calcule o espaço que a luz percorre em um minuto e em um segundo. Supondo que a luz gasta da ordem de 8,0 minutos para sair do Sol e chegar na Terra, que é a distância em quilômetros entre o Sol e a Terra. Considere um triângulo retângulo de lados $a=3$ m e $b=4$ m . Determine o valor da hipotenusa Determine o seno do ângulo entre a hipotenusa e o lado a. Determine o cosseno do ângulo entre a hipotenusa e o lado a. Determine a tangente do ângulo entre a hipotenusa e o lado a.

Esta questão apresenta um conjunto de exercícios variados de matemática e física básica, abordando álgebra, operações com potências, geometria circular e trigonometria. Abaixo está a resolução detalhada passo a passo para cada item solicitado.

Resolução Detalhada

a) Expressão para R

Dada a fórmula de resistência equivalente em paralelo:
$$ \frac{1}{R} = \frac{1}{R1} + \frac{1}{R2} $$

Para encontrar $R$, somamos os termos do lado direito encontrando o denominador comum:
$$ \frac{1}{R} = \frac{R2 + R1}{R1 \cdot R2} $$

Invertemos ambos os lados da equação:
$$ R = \frac{R1 \cdot R2}{R1 + R2} $$

b) Expansão de $(a+b)^2$

Utilizamos o produto notável do quadrado da soma:
$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
O termo central é sempre o dobro do produto das bases.

c) Expressão para $(a-b)^2$

Utilizamos o produto notável do quadrado da diferença:
$$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$
A única diferença em relação ao item anterior é o sinal negativo no termo central.

d) Comprimento do círculo

Dados: Diâmetro $d = 10^{-2}$ cm.
A fórmula do comprimento (circunferência) é $C = \pi \cdot d$.
Substituindo o valor:
$$ C = \pi \cdot 10^{-2} \text{ cm} $$
(Valor aproximado: $0,0314$ cm)

e) Divisão por fração

Calcule quanto vale $4$ dividido por $1/2$:
$$ 4 \div \frac{1}{2} = 4 \cdot 2 = 8 $$
Dividir por uma fração equivale a multiplicar pelo seu inverso.

f) Potências de base 10

Determinar $\frac{10^{16}}{10^{-4}}$:
Usamos a propriedade da divisão de potências de mesma base ($10^a / 10^b = 10^{a-b}$):
$$ 10^{16 - (-4)} = 10^{16 + 4} = 10^{20} $$

g) Raio da Terra

Dados: Comprimento $C = 40.000$ km.
Fórmula: $C = 2 \cdot \pi \cdot r$.
Isolando o raio $r$:
$$ r = \frac{C}{2\pi} = \frac{40.000}{2\pi} \approx 6.366,19 \text{ km} $$

h) Números em potência de base 10

Convertendo os valores:

• $0,5 = 5 \cdot 10^{-1}$
• $10.000 = 10^4$
• $0,035 = 3,5 \cdot 10^{-2}$
• $85 = 8,5 \cdot 10^1$
• $300.000 = 3 \cdot 10^5$

i) Distância percorrida pela luz

Velocidade $v = 300.000$ km/h.

1. Em um minuto ($t = 1/60$ hora):
   $$ d = v \cdot t = 300.000 \cdot \frac{1}{60} = 5.000 \text{ km} $$
2. Em um segundo ($t = 1/3600$ hora):
   $$ d = 300.000 \cdot \frac{1}{3600} \approx 83,33 \text{ km} $$

j) Distância Sol-Terra

Tempo $t = 8,0$ minutos = $8/60$ horas.
Velocidade $v = 300.000$ km/h.
$$ d = v \cdot t = 300.000 \cdot \frac{8}{60} = 5.000 \cdot 8 = 40.000 \text{ km} $$

k) Triângulo Retângulo (item g repetido)

Lados catetos $a = 3$ m, $b = 4$ m.

1. Hipotenusa ($c$):
   Pelo Teorema de Pitágoras:
   $$ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ m} $$
2. Seno do ângulo entre hipotenusa e lado $a$:
   O seno é $\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}$. O oposto ao ângulo adjacente a $a$ é $b$.
   $$ \sin(\theta) = \frac{4}{5} = 0,8 $$
3. Cosseno do ângulo entre hipotenusa e lado $a$:
   O cosseno é $\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}$. O adjacente é $a$.
   $$ \cos(\theta) = \frac{3}{5} = 0,6 $$
4. Tangente do ângulo entre hipotenusa e lado $a$:
   A tangente é $\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}$.
   $$ \tan(\theta) = \frac{4}{3} \approx 1,33 $$