Considerando a função y = |x|, representada gráfico a seguir, analise as afirmações: I. Na função y = |x|, x = 0 é um ponto de descontinuidade, o que torna a função descontínua. II. Na função y = |x| não existem pontos de descontinuidade, ou seja, |x| é contínua III. A função y = |x| é contínua em x = 0. IV. O lim(x) |x| ≠ 0. x→0

Alternativa C - Apenas II e III estão corretas.

Análise Detalhada

Para resolver esta questão, precisamos entender o conceito de continuidade de funções e analisar o comportamento da função módulo $y = |x|$ especificamente no ponto $x = 0$.

1. Conceito de Continuidade

Uma função $f(x)$ é considerada contínua em um ponto $a$ se três condições forem satisfeitas simultaneamente:

1. A função está definida no ponto ($f(a)$ existe).
2. O limite da função quando $x$ tende a $a$ existe ($\lim_{x \to a} f(x)$ existe).
3. O valor do limite é igual ao valor da função ($\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$).

Se essas condições falharem, temos uma descontinuidade. Visualmente, isso significa que podemos traçar o gráfico sem levantar o lápis do papel.

2. Análise da Função $y = |x|$ no Ponto $x = 0$

Vamos verificar as condições matematicamente para o ponto $x = 0$:

• Valor da função:

$$f(0) = |0| = 0$$
A função está definida e vale 0.

• Limite Lateral Direito ($x \to 0^+$):

Quando $x$ é positivo, $|x| = x$.

$$\lim_{x \to 0^+} |x| = 0$$

• Limite Lateral Esquerdo ($x \to 0^-$):

Quando $x$ é negativo, $|x| = -x$.

$$\lim_{x \to 0^-} |x| = 0$$

Como os limites laterais são iguais ($0 = 0$), o limite existe e é igual a 0. Além disso, ele é igual ao valor da função $f(0)$. Portanto, a função é contínua em $x=0$.

3. Verificação das Afirmações

Agora vamos analisar cada item proposto na questão:

• I. "Na função $y = |x|$, $x = 0$ é um ponto de descontinuidade..."
• FALSO. Acabamos de demonstrar que a função é contínua em $x=0$. O gráfico não apresenta "buracos" ou saltos.
• II. "Na função $y = |x|$ não existem pontos de descontinuidade, ou seja, $|x|$ é contínua em toda parte."
• VERDADEIRO. A função módulo é composta por duas retas ($y=x$ e $y=-x$) que se encontram perfeitamente no vértice. Ela é contínua para todo número real ($\mathbb{R}$).
• III. "A função $y = |x|$ é contínua em $x = 0$."
• VERDADEIRO. Esta é a confirmação direta do cálculo feito acima. O limite coincide com a função.
• IV. "$\lim_{x \to 0} |x| \neq 0$"
• FALSO. O limite calculado é exatamente 0.

Conclusão

As únicas afirmações verdadeiras são a II e a III. Portanto, a alternativa correta é a letra c.