Uma variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo [1, 5]. A média e a variância correspondentes são, respectivamente:

Alternativa E

O problema trata de uma variável aleatória contínua com distribuição uniforme. Para resolver, precisamos aplicar as fórmulas padrão para média e variância deste tipo de distribuição.

A distribuição uniforme é definida por um intervalo $[a, b]$, onde todos os valores dentro desse intervalo têm a mesma probabilidade de ocorrência. Neste caso, temos $a = 1$ e $b = 5$.

As fórmulas fundamentais são:

• Média ($\mu$): $\mu = \frac{a + b}{2}$
• Variância ($\sigma^2$): $\sigma^2 = \frac{(b - a)^2}{12}$

Vamos calcular cada uma delas passo a passo.

$$ \text{Média} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$

$$ \text{Variância} = \frac{(5 - 1)^2}{12} = \frac{4^2}{12} = \frac{16}{12} $$

Simplificando a fração da variância dividindo numerador e denominador por 4:

$$ \frac{16}{12} = \frac{4}{3} $$

Portanto, a média é 3 e a variância é 4/3.

Análise dos Dados

• Intervalo dado: $[1, 5]$
• Limite inferior ($a$): 1
• Limite superior ($b$): 5
• Cálculo da Média:
• Soma dos limites: $1 + 5 = 6$
• Divisão por 2: $6 / 2 = 3$
• Cálculo da Variância:
• Diferença dos limites: $5 - 1 = 4$
• Quadrado da diferença: $4^2 = 16$
• Divisão por 12: $16 / 12 = 4/3$

A questão pede os valores respectivamente, ou seja, primeiro a média e depois a variância. Isso nos leva à sequência 3 e 4/3.

Comparando com as alternativas disponíveis:

• A) 2 e 1/3
• B) 2 e 2/3
• C) 3 e 3/4
• D) 3 e 1/3
• E) 3 e 4/3

A alternativa correta é a E.