A variável aleatória contínua X tem a seguinte função de densidade de probabilidade: f(x) = { kx + k, se 0 ≤ x ≤ 3 { 0, para todos os outros valores de x Sendo k uma constante, seu valor é igual a:

Alternativa D

Para encontrar o valor da constante $k$ em uma função de densidade de probabilidade (FDP), devemos utilizar a propriedade fundamental de que a área total sob a curva deve ser igual a 1. Isso garante que a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis seja certa.

Matematicamente, isso significa que a integral da função no domínio definido deve resultar em 1. Como a função é zero fora do intervalo $[0, 3]$, integramos apenas nesse intervalo.

Desenvolvimento

O processo de resolução envolve os seguintes passos:

• Condição de Normalização: $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$
• Aplicação ao problema: $\int_{0}^{3} \left(\frac{x}{12} + k\right) \, dx = 1$
• Cálculo da integral:
  $$ \left[ \frac{x^2}{24} + kx \right]_{0}^{3} = 1 $$
• Substituição dos limites:
  $$ \left(\frac{3^2}{24} + 3k\right) - \left(\frac{0^2}{24} + 3(0)\right) = 1 $$
  $$ \frac{9}{24} + 3k = 1 $$
• Simplificação e resolução:
  Reduzindo a fração $\frac{9}{24}$ por 3, temos $\frac{3}{8}$.
  $$ \frac{3}{8} + 3k = 1 $$
  $$ 3k = 1 - \frac{3}{8} $$
  $$ 3k = \frac{5}{8} $$
  $$ k = \frac{5}{24} $$

Portanto, o valor da constante $k$ é 5/24.

Alternativa D.