Considere a função f(x, y) = x² + 3xy². A partir da mesma, determine suas derivadas parciais em relação às variáveis x e y, respectivamente.

Alternativa C

A questão solicita o cálculo das derivadas parciais da função $f(x, y) = x^2 + 3xy^2$ em relação às variáveis $x$ e $y$. Para resolver, aplicamos as regras de diferenciação parcial, onde tratamos a variável não derivada como uma constante.

Análise do Problema

Para encontrar as respostas corretas, realizamos os cálculos passo a passo:

• Derivada parcial em relação a $x$ ($\frac{\partial f}{\partial x}$):
• Consideramos $y$ como uma constante.
• A derivada de $x^2$ é $2x$.
• A derivada de $3xy^2$ (onde $3y^2$ é coeficiente) é $3y^2 \cdot 1 = 3y^2$.
• Resultado: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y^2$.
• Derivada parcial em relação a $y$ ($\frac{\partial f}{\partial y}$):
• Consideramos $x$ como uma constante.
• A derivada de $x^2$ em relação a $y$ é $0$ (constante).
• A derivada de $3xy^2$ (onde $3x$ é coeficiente) é $3x \cdot 2y = 6xy$.
• Resultado: $\frac{\partial f}{\partial y} = 6xy$.

Comparando os resultados obtidos com as alternativas apresentadas na imagem, a opção que apresenta exatamente $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y^2$ e $\frac{\partial f}{\partial y} = 6xy$ é a letra C.

Portanto, a alternativa correta é C.