Curvas paramétricas são fundamentais em diversas áreas, como física, engenharia e design gráfico, por sua capacidade de modelar movimentos e trajetórias complexas. Uma curva particularmente interessante é dada pela expressão paramétrica $\vec{r}(t) = [e^t cos(t), e^t sen(t)]$ que define uma trajetória no plano à medida que o parâmetro t varia. Identifique e assinale a alternativa que descreve a trajetória e as características da curva paramétrica $\vec{r}(t)$.

Alternativa D - Espiral logarítmica, expandindo-se infinitamente com o aumento de t.

A questão apresenta uma curva paramétrica onde as coordenadas $x$ e $y$ dependem de uma função exponencial multiplicada por funções trigonométricas. Para identificar a forma geométrica, devemos converter essas equações para coordenadas polares.

As equações fornecidas são:
$$x(t) = e^t \cos(t)$$
$$y(t) = e^t \sin(t)$$

Análise Matemática

Para encontrar a natureza da curva, calculamos a distância da origem até um ponto qualquer da trajetória ($\rho$) e relacionamos com o ângulo ($\theta$).

• Cálculo do Raio Polar ($\rho$):
  $$x^2 + y^2 = (e^t \cos(t))^2 + (e^t \sin(t))^2$$
  $$x^2 + y^2 = e^{2t} (\cos^2(t) + \sin^2(t))$$
  Utilizando a identidade fundamental $\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1$:
  $$\rho^2 = e^{2t} \Rightarrow \rho = e^t$$
• Cálculo do Ângulo ($\theta$):
  $$\tan(\theta) = \frac{y}{x} = \frac{e^t \sin(t)}{e^t \cos(t)} = \tan(t)$$
  Logo, o ângulo é proporcional ao parâmetro: $\theta = t$.
• Equação da Curva:
  Substituindo $t$ por $\theta$ na expressão do raio, obtemos a equação polar:
  $$\rho = e^\theta$$
  Esta é a definição matemática clássica de uma Espiral Logarítmica.

Características da Trajetória

A análise das funções envolvidas revela o comportamento dinâmico da curva:

• Crescimento Exponencial: À medida que $t$ aumenta, o termo $e^t$ cresce rapidamente, fazendo com que a distância do centro ($\rho$) aumente indefinidamente.
• Movimento de Rotação: Simultaneamente, o argumento dos senos e cossenos ($t$) gira o ponto ao redor da origem.
• Forma Geométrica: A combinação de rotação uniforme com expansão exponencial gera uma espiral que se afasta da origem sem fim.

Por que as outras estão incorretas?

A descrição que melhor se ajusta à equação $\rho = e^\theta$ é a de uma espiral que se expande infinitamente conforme o parâmetro $t$ aumenta.