Considere a integral tripla de uma função contínua $f(x, y, z)$ definida em um domínio D. O Teorema de Fubini é uma ferramenta fundamental na análise matemática que permite a troca da ordem de integração em integrais múltiplas. Para uma melhor compreensão do teorema, considere as condições necessárias para sua aplicação e como essas condições influenciam a avaliação da integral. Analise as seguintes afirmativas e assinale a alternativa que descreve uma condição necessária para a aplicação do Teorema de Fubini em integrais triplas.

Alternativa D - O domínio D deve ser limitado e a função $f(x, y, z)$ deve ser integrável.

Introdução ao Teorema de Fubini

O Teorema de Fubini é um pilar do cálculo multivariável. Ele estabelece que, sob certas condições, podemos calcular uma integral múltipla (como a integral tripla) realizando integrais de uma variável sucessivamente (integrais iteradas), independentemente da ordem escolhida para essas integrações.

Para garantir que essa troca de ordem seja válida e que o valor da integral seja único e bem definido, existem requisitos fundamentais sobre o domínio e a função.

Análise das Condições Necessárias

A alternativa correta descreve os dois pilares matemáticos essenciais para a aplicação rigorosa deste teorema em contextos de cálculo de Riemann:

• Domínio Limitado: O conjunto de integração $D$ deve ter volume finito. Se o domínio fosse infinito, precisaríamos tratar como uma integral imprópria, o que exige testes de convergência adicionais além do Fubini padrão.
• Função Integrável: A função $f(x, y, z)$ deve possuir uma integral definida sobre o domínio. Uma condição suficiente comum é que a função seja contínua em um domínio fechado e limitado (compacto). Isso garante que ela é limitada e não possui singularidades que tornariam a área/volume infinita.

Por que as outras alternativas estão incorretas?

Vamos analisar por que as demais opções não representam condições necessárias:

• A) A função não precisa ser não-negativa. O teorema funciona para funções que assumem valores positivos e negativos (calculando volumes com sinal ou quantidades líquidas).
• B) O domínio não precisa ser um cubo. Pode ser um paralelepípedo, uma esfera, um cilindro ou qualquer região mensurável. A restrição básica é que o domínio seja simples o suficiente para delimitar as cotas de integração.
• C) As coordenadas podem ser cartesianas, cilíndricas ou esféricas. O teorema aplica-se à estrutura da integração, não ao sistema de coordenadas escolhido para parametrizar o espaço.
• E) A continuidade somente no eixo X é insuficiente. Para uma integral tripla, a função precisa se comportar bem em toda a extensão do volume tridimensional, não apenas em uma linha unidimensional.

Conclusão

A validade da troca de ordem na integração depende fundamentalmente da existência da integral. Portanto, a condição de que o domínio seja limitado e a função seja integrável é a descrição correta dos pré-requisitos.

Alternativa D.