Alternativa D
O problema solicita o cálculo da circulação de um campo vetorial utilizando o Teorema de Green. Esta ferramenta conecta uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.
Identificação dos Componentes
Primeiro, identificamos as componentes do campo vetorial $J(x, y) = (P, Q)$ e os limites da região $D$:
- $P(x, y) = x^2 - y^2$
- $Q(x, y) = 2xy$
- Região $D$: Retângulo definido por $x \in [-1, 1]$ e $y \in [-1, 1]$.
O Teorema de Green é expresso pela fórmula:
$$ \ointC (P \, dx + Q \, dy) = \iintD \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA $$
Cálculo das Derivadas Parciais
Para aplicar a fórmula, calculamos as derivadas parciais necessárias:
- Derivada de $Q$ em relação a $x$:
$$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y $$ - Derivada de $P$ em relação a $y$:
$$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^2) = -2y $$
Substituindo esses valores na expressão do integrando da integral dupla:
$$ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2y - (-2y) = 4y $$
Resolução da Integral Dupla
Agora, montamos a integral dupla sobre o retângulo dado:
$$ I = \int{-1}^{1} \int{-1}^{1} 4y \, dy \, dx $$
Calculamos a integral interna primeiro (em relação a $y$):
$$ \int{-1}^{1} 4y \, dy = \left[ 2y^2 \right]{-1}^{1} $$
$$ = 2(1)^2 - 2(-1)^2 $$
$$ = 2 - 2 = 0 $$
Como o resultado da integração interna é zero, a integral externa também será zero, independentemente da variável $x$:
$$ \int_{-1}^{1} 0 \, dx = 0 $$
Conclusão
O valor da integral de linha é 0. Isso ocorre porque a função $4y$ é ímpar em relação à variável $y$, e estamos integrando sobre um intervalo simétrico $[-1, 1]$. As áreas positivas e negativas se cancelam perfeitamente.
Portanto, a alternativa correta é a D.