Qual a fração geratriz da dízima periódica 0,4̄?

Alternativa B

Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples, utilizamos um método direto que relaciona o período da dízima com números formados por noves.

Regra da Fração Geratriz

Uma dízima periódica simples é aquela em que o período começa imediatamente após a vírgula. Para convertê-la em fração:

• O numerador é formado pelo próprio período (o número que se repete).
• O denominador é formado por tantos algarismos iguais a nove quantos forem os dígitos do período.

No caso de $0,\overline{4}$:

• O período é 4.
• Existem 1 dígito no período.
• Logo, o denominador será um único 9.

$$0,\overline{4} = \frac{4}{9}$$

Demonstração Algébrica

Podemos confirmar esse resultado usando álgebra para entender o "porquê" da regra funcionar:

1. Seja $x = 0,\overline{4} = 0,4444...$
2. Multiplique por 10 (pois há 1 casa decimal repetitiva):
   $$10x = 4,4444...$$
3. Subtraia a equação original da multiplicada:
   $$10x - x = 4,4444... - 0,4444...$$
   $$9x = 4$$
4. Isolar $x$:
   $$x = \frac{4}{9}$$

Análise das Alternativas

A alternativa B é a única que representa corretamente a dízima $0,\overline{4}$.