Quais expressões são equivalentes a \[\dfrac{4^{-3}}{4^{-1}}\] ?

Análise da Questão de Potências e Expoentes

O objetivo é encontrar duas expressões equivalentes à expressão original usando propriedades de potências.

Passo 1: Simplificar a Expressão Original

A propriedade fundamental que usamos aqui é:

$$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

Aplicando ao problema:

$$\dfrac{4^{-3}}{4^{-1}} = 4^{-3 - (-1)} = 4^{-3 + 1} = 4^{-2}$$

Também podemos escrever como fração:

$$4^{-2} = \dfrac{1}{4^2}$$

Passo 2: Analisar Cada Alternativa

## Verificação Detalhada

Alternativa A

$$\dfrac{4^1}{4^3} = 4^{1-3} = 4^{-2}$$
Usamos a mesma regra de divisão de potências com mesma base.

Alternativa B

$$\dfrac{1}{4^{2}} = 4^{-2}$$
Esta é a definição direta de expoente negativo.

Alternativa C (Incorreta)

$$4^3 \cdot 4^1 = 4^{3+1} = 4^4$$
Multiplicação soma os expoentes, não subtrai!

Alternativa D (Incorreta)

$$(4^{-1})^{-3} = 4^{(-1)\times(-3)} = 4^3$$
Potência de potência multiplica os expoentes.

Conclusão

As duas respostas corretas são:

Alternativas A e B

Ambas resultam em $4^{-2}$, que é exatamente o valor da expressão original $\dfrac{4^{-3}}{4^{-1}}$.