Quais expressões são equivalentes a \[5^{12}\\cdot 5^8\]?

Alternativas C e D

A expressão dada é $5^{12} \cdot 5^8$. Para encontrar as equivalentes, primeiro simplificamos a expressão original utilizando as propriedades das potências.

Simplificação da Expressão Original

Quando multiplicamos potências de mesma base, somamos os expoentes:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Aplicando isso ao problema:

$$5^{12} \cdot 5^8 = 5^{12+8} = 5^{20}$$

Nossa tarefa agora é encontrar entre as opções aquelas que também resultam em $5^{20}$.

Análise das Alternativas

Vamos simplificar cada uma das expressões apresentadas para comparar com $5^{20}$.

Detalhamento das Corretas

• Alternativa C:
  Primeiro resolvemos o produto dentro do parêntese:
  $$5^3 \cdot 5^2 = 5^{3+2} = 5^5$$
  Depois aplicamos a potência externa:
  $$(5^5)^4 = 5^{5 \cdot 4} = 5^{20}$$
• Alternativa D:
  Aplicamos diretamente a propriedade da potência de potência, onde multiplicamos os expoentes:
  $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
  $$(5^5)^4 = 5^{5 \cdot 4} = 5^{20}$$

Conclusão

As únicas expressões que resultam matematicamente em $5^{20}$, igual à expressão original, são a C e a D.