Análise da Expressão Exponencial
Esta questão pede para analisar os passos de reescrita da expressão $\left( 4^{-2} \cdot 4^{-3} \right)^{3}$.
Propriedades de Potenciação
Para resolver este problema, precisamos lembrar das regras fundamentais:
| Regra | Fórmula | Aplicação |
|---|
| Produto de mesma base | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | Etapa 1 |
| Potência de potência | $(a^m)^n = a^{m \times n}$ | Etapa 2 |
| Expoente negativo | $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ | Etapa 3 |
Verificação Passo a Passo
Etapa 1: Correta ✓
$$\left( 4^{-2} \cdot 4^{-3} \right)^{3} = \left( 4^{-2 + (-3)} \right)^{3} = \left( 4^{-5} \right)^{3}$$
Quando multiplicamos potências de mesma base, somamos os expoentes. Cris acertou neste passo.
Etapa 2: Incorreta ✗
$$\left( 4^{-5} \right)^{3} = 4^{-2} \quad \text{(ERRADO)}$$
O correto seria multiplicar os expoentes:
$$\left( 4^{-5} \right)^{3} = 4^{-5 \times 3} = 4^{-15}$$
Cris provavelmente somou em vez de multiplicar ($-5 + 3 = -2$).
Etapa 3: Correta (para o valor errado)
$$4^{-2} = \frac{1}{4^2}$$
A conversão de expoente negativo está correta, mas como o resultado anterior estava errado, o final também está.
Comparativo dos Resultados
| Passo | O que Cris fez | O correto seria | Status |
|---|
| Etapa 1 | $4^{-2+(-3)} = 4^{-5}$ | $4^{-5}$ | ✓ Correto |
| Etapa 2 | $(-5) + 3 = -2$ | $(-5) \times 3 = -15$ | ✗ Incorreto |
| Etapa 3 | $4^{-2} = \frac{1}{4^2}$ | $4^{-15} = \frac{1}{4^{15}}$ | ✓ Forma correta, valor errado |
Conclusão
Erro identificado na Etapa 2 — A regra de potência de potência exige multiplicação dos expoentes, não adição.
Solução completa correta:
$$\left( 4^{-2} \cdot 4^{-3} \right)^{3} = \left( 4^{-5} \right)^{3} = 4^{-15} = \frac{1}{4^{15}}$$