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Matemática — Geometria Múltipla Escolha

Observe a matriz a seguir: Z equals open square brackets table row cell 2 x end cell y row cell 3 x end

Observe a matriz a seguir:

Z equals open square brackets table row cell 2 x end cell y row cell 3 x end cell cell 4 y end cell row cell negative x end cell cell 2 y end cell end table close square brackets.

Sobre a matriz Z, podemos afirmar que:

É uma matriz quadrada de ordem 3.

A matriz transposta de Z é dada por Z to the power of t equals open square brackets table row cell 2 x end cell cell 3 x end cell cell negative x end cell row y cell 4 y end cell cell 2 y end cell end table close square brackets.

Se x e y forem diferentes de zero, a matriz Z será uma matriz nula.

É uma matriz identidade de ordem 3.

A matriz transposta de Z é uma matriz 3 x 2.

Resolução completa

Explicação passo a passo

B
Alternativa B

Análise da Matriz Z

Vamos primeiro visualizar a matriz descrita no enunciado:

$$Z = \begin{bmatrix} 2x & y \\ 3x & 4y \\ -x & 2y \end{bmatrix}$$

Esta matriz possui 3 linhas e 2 colunas, ou seja, é uma matriz de dimensões 3 × 2.


Análise das Alternativas

AlternativaAfirmaçãoCorreta?Justificativa
AMatriz quadrada de ordem 3Seria 3×3, mas Z é 3×2
BTransposta Zᵢ está corretaVerificado abaixo
CMatriz nula se x,y ≠ 0Matriz nula tem todos elementos zero
DMatriz identidade ordem 3Não é quadrada nem tem 1s na diagonal
ETransposta é 3×2Transposta de 3×2 é 2×3

Cálculo da Matriz Transposta

Para encontrar a matriz transposta, trocamos as linhas por colunas:

$$Z = \begin{bmatrix} 2x & y \\ 3x & 4y \\ -x & 2y \end{bmatrix} \Rightarrow Z^T = \begin{bmatrix} 2x & 3x & -x \\ y & 4y & 2y \end{bmatrix}$$

Observe que:

  • A dimensão muda de 3×2 para 2×3
  • O elemento na posição (i,j) de Z vai para (j,i) em Zᵀ

Verificação Conceitual

  • Matriz quadrada: número de linhas = número de colunas
  • Matriz nula: todos os elementos são zero
  • Matriz identidade: quadrada, 1s na diagonal principal, 0s fora
  • Transposta: troca linhas por colunas

Conclusão

A única afirmação correta é sobre a matriz transposta, que realmente resulta em:

$$Z^T = \begin{bmatrix} 2x & 3x & -x \\ y & 4y & 2y \end{bmatrix}$$

Alternativa B

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