O matemático Georg Alexander Pick descobriu como calcular a área de uma figura em um reticulado, que nada mais é que pontos que formam os vértices de uma malha quadrada no plano. Quando todos os quadrados da malha têm lado unitário, a área de um polígono que tem todos os seus vértices nesse reticulado é simplesmente o número de quadrados que se encontram no interior da figura mais metade do número de pontos que se encontram sobre a borda da figura, menos uma unidade. Observe a figura. De acordo com Pick, a área desse triângulo é:

Alternativa A

Este problema solicita o cálculo da área de um polígono desenhado sobre uma malha quadriculada, utilizando os pontos da grade como vértices. O método descrito no enunciado refere-se ao Teorema de Pick, que permite encontrar a área de forma simples contando os pontos da malha.

O Teorema de Pick

A fórmula do Teorema de Pick relaciona a área de um polígono com dois tipos de pontos da malha:

• $I$: número de pontos interiores (estritamente dentro do polígono).
• $B$: número de pontos na fronteira (vértices e pontos sobre as arestas).

A equação fundamental é:
$$A = I + \frac{B}{2} - 1$$

Contagem dos Pontos

Para aplicar a fórmula, precisamos identificar corretamente $I$ e $B$ observando a figura:

• Pontos na Fronteira ($B$):
• Existem 3 vértices principais do triângulo.
• Analisando as bordas:
• A base conecta pontos com deslocamento $(4, 2)$. Como o Máximo Divisor Comum (MDC) é 2, há 1 ponto intermediário neste lado.
• Os outros dois lados possuem MDC igual a 1, logo não têm pontos intermediários.
• Total de pontos na fronteira: $B = 3 (\text{vértices}) + 1 (\text{intermediário}) = 4$.
• Pontos Interiores ($I$):
• Devemos contar todos os pontos da grade que estão dentro do triângulo, sem tocar nas linhas verdes.
• Contando visualmente coluna por coluna dentro da figura, encontramos exatamente 7 pontos interiores.

Cálculo Final

Substituindo os valores encontrados na fórmula de Pick:

$$A = 7 + \frac{4}{2} - 1$$
$$A = 7 + 2 - 1$$
$$A = 8$$

Portanto, a área do triângulo é de 8 unidades de área ($\text{cm}^2$, dado que a escala é de 1 cm entre pontos).

A alternativa correta é a A.