O matemático Georg Alexander Pick descobriu como calcular a área de uma figura em um reticulado, que nada mais é que pontos que formam os vértices de uma malha quadrada no plano. Quando os lados dos quadrados da malha têm lado unitário, a área de um polígono que tem todos os seus vértices nesse reticulado é complementada o número de pontos do reticulado que se encontram no interior da figura mais metade do número de pontos que se encontram sobre a borda da figura, menos uma unidade. De acordo com Pick, a área dessa figura é:

Alternativa C

A questão solicita o cálculo da área de um polígono desenhado sobre uma malha quadriculada utilizando o Teorema de Pick. Este teorema é fundamental em geometria discreta para encontrar a área de polígonos cujos vértices são pontos inteiros de uma grade.

Fórmula e Conceitos

O Teorema de Pick estabelece que a área $A$ de um polígono simples é dada pela fórmula:

$$A = i + \frac{b}{2} - 1$$

Onde:

• $i$ é o número de pontos do reticulado estritamente no interior do polígono.
• $b$ é o número de pontos do reticulado na fronteira (bordas e vértices) do polígono.

Análise dos Dados da Figura

Para resolver, precisamos contar os pontos $i$ e $b$ diretamente da imagem fornecida.

1. Contando os pontos da Fronteira ($b$)

Estes são os pontos que ficam exatamente em cima das linhas verdes do triângulo:

• Vértices: Existem 3 pontos nos cantos do triângulo.
• Borda Esquerda: Entre o vértice inferior e o superior, há 1 ponto intermediário no segmento.
• Borda Superior/Direita: Entre o vértice superior e o direito, há 3 pontos intermediários.
• Borda Inferior: Entre o vértice direito e o inferior, há 1 ponto intermediário.

Somando tudo: $3 (\text{vértices}) + 1 + 3 + 1 = \mathbf{8}$ pontos na fronteira ($b=8$).

2. Contando os pontos Interiores ($i$)

Estes são os pontos que estão dentro do triângulo, sem tocar nas bordas. Contando linha por linha, de baixo para cima:

• Linha imediatamente acima do vértice inferior: 2 pontos.
• Próxima linha: 5 pontos.
• Linha central: 3 pontos.
• Próxima linha: 2 pontos.
• Linha imediatamente abaixo do vértice superior: 1 ponto.

Somando tudo: $2 + 5 + 3 + 2 + 1 = \mathbf{13}$ pontos interiores ($i=13$).

Cálculo Final

Substituindo os valores encontrados na fórmula do Teorema de Pick:

$$A = 13 + \frac{8}{2} - 1$$
$$A = 13 + 4 - 1$$
$$A = 16$$

Portanto, a área do triângulo é de 16 unidades de área (considerando que cada quadrado da grade tem lado 1 cm, a área seria 16 cm²).

Alternativa C.