A figura a seguir representa um balão que está preso por duas cordas fixadas no cesto B do balão e nos pontos A e C de uma planície. O ângulo formado entre as duas cordas mede 90°. A altura h do cesto do balão até o chão, é igual a

Alternativa A

A questão descreve um cenário geométrico envolvendo um triângulo retângulo, onde o vértice superior (cesto do balão B) forma um ângulo de $90^\circ$ com os pontos de fixação no solo (A e C). A altura $h$ corresponde à distância perpendicular do ponto B até a linha AC.

Para resolver este problema, utilizamos as Relações Métricas no Triângulo Retângulo.

Análise Geométrica

1. Configuração do Triângulo:

• O triângulo $ABC$ tem o ângulo em $B$ igual a $90^\circ$.
• O segmento $BH$ (comprimento $h$) é a altura relativa à hipotenusa.
• O segmento $AB$ é um cateto com valor $40\sqrt{5}$ m.
• O segmento $HC$ é a projeção ortogonal do cateto $BC$ sobre a hipotenusa, valendo $20$ m.
• O segmento $AH$ é a projeção ortogonal do cateto $AB$ sobre a hipotenusa (incógnita inicial).

1. Determinando a projeção $AH$:
   Aplicamos a primeira relação métrica: o quadrado de um cateto é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa total.

$$AB^2 = AH \cdot AC$$

Como $AC = AH + HC$, substituímos os valores conhecidos:

$$(40\sqrt{5})^2 = AH \cdot (AH + 20)$$
$$8000 = AH^2 + 20 \cdot AH$$
$$AH^2 + 20 \cdot AH - 8000 = 0$$

Resolvendo esta equação quadrática para encontrar $AH$:

• Delta ($\Delta$): $20^2 - 4(1)(-8000) = 32400$
• Raiz de $\Delta$: $\sqrt{32400} = 180$
• $AH = \frac{-20 + 180}{2} = 80$ m

1. Calculando a altura $h$:
   Agora aplicamos a relação da altura: o quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos na hipotenusa.

$$h^2 = AH \cdot HC$$
$$h^2 = 80 \cdot 20$$
$$h^2 = 1600$$
$$h = \sqrt{1600} = 40 \text{ m}$$

Conclusão

O cálculo confirma que a altura do cesto até o chão é de 40 metros.

Alternativa A