Segundo a Celesc (Centrais Elétricas de Santa Catarina S.A.), no dia 16 de julho de 2014, houve uma interrupção do abastecimento elétrico em Chapecó. O problema teve solução após seis horas. A ocorrência foi causada por falha na linha de transmissão da subestação da região e afetou 37 mil habitantes. Um acadêmico do curso de Engenharia percebendo a importância do tema, decide fazer uma pesquisa sobre linhas de transmissão. Inicialmente, começa a estudar equações diferenciais ordinárias, um requisito para o estudo de linhas de transmissão, visto que problemas na área podem ser modelados por meio de EDO’s. Em relação ao conteúdo de EDO’s, assinale V para verdadeiro e F para falso, em caso de falso, justifique.

Esta questão aborda conceitos fundamentais de Equações Diferenciais, especificamente a classificação de Ordens, Graus e Linealidade tanto em Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) quanto em Equações Diferenciais Parciais (EDPs).

Para resolver, precisamos aplicar as definições rigorosas de cada propriedade solicitada nas afirmativas.

Análise Detalhada

Vamos examinar cada item separadamente:

Item (a)

Afirmativa: "A EDO $(1-x^2)(y'')^3 - 4xy' - 5y = \tan(y)$ tem grau 3, ordem 2 e é linear;"

• Ordem: A ordem é determinada pela maior derivada presente na equação. Aqui, temos $y''$ (derivada de segunda ordem). Portanto, a ordem é 2.
• Grau: O grau é o expoente da maior derivada quando a equação está polinomializada em relação às derivadas. O termo $(y'')^3$ indica que o grau é 3.
• Linearidade: Para ser linear, a incógnita ($y$) e todas as suas derivadas devem ter expoente igual a 1 e não podem estar dentro de funções não lineares (como trigonométricas, logaritmos, etc.), nem multiplicadas entre si.
• Na equação dada, temos o termo $\tan(y)$ e o termo $(y'')^3$.
• A presença de $\tan(y)$ e o expoente 3 na derivada tornam a equação não linear.

Conclusão: A afirmativa é Falsa (F).

Item (b)

Afirmativa: "A função $y(t) = \int_0^t e^{2(t-s)} s^2 ds$ é solução EDO $y' = 2y + t^2$ sujeita a condição $y(0) = 0$."

• Condição Inicial: Substituindo $t=0$ na integral:
  $$y(0) = \int_0^0 e^{2(0-s)} s^2 ds = 0$$
  A condição $y(0)=0$ é satisfeita.
• Solução da EDO: Reescrevendo a função para facilitar a derivação:
  $$y(t) = e^{2t} \int_0^t e^{-2s} s^2 ds$$
  Aplicando a Regra do Produto e o Teorema Fundamental do Cálculo (Leibniz):
  $$y'(t) = 2e^{2t} \int_0^t e^{-2s} s^2 ds + e^{2t} \cdot (e^{-2t} t^2)$$
  $$y'(t) = 2 \underbrace{\left( e^{2t} \int0^t e^{-2s} s^2 ds \right)}{y(t)} + t^2$$
  $$y'(t) = 2y(t) + t^2$$
  A derivada calculada coincide exatamente com a equação diferencial proposta.

Conclusão: A afirmativa é Verdadeira (V).

Item (c)

Afirmativa: "A EDP do calor $\frac{\partial U}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + g(x,t)$, é uma equação linear, de segunda ordem e do primeiro grau."

• Ordem: A maior derivada parcial é $\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}$, que é de segunda ordem.
• Grau: O expoente da maior derivada é 1. Portanto, é de primeiro grau.
• Linearidade: A incógnita $U$ e suas derivadas aparecem apenas elevadas à primeira potência, sem produtos entre elas ou funções não lineares aplicadas a elas. O termo $g(x,t)$ representa uma fonte externa e não afeta a linearidade da equação em relação à incógnita.

Conclusão: A afirmativa é Verdadeira (V).

Resumo Final

Sequência Correta: F, V, V.