Dada equação: (y cos(x) + 2xe^x) dx + (sin(x) + x²e^x - 1) dy = 0

Resolução da Questão de Equação Diferencial Exata

Esta é uma questão de cálculo envolvendo equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. O objetivo é classificar a equação como exata, encontrar sua solução geral e aplicar uma condição inicial para obter a solução particular.

Passo a Passo da Solução

1. Verificação de Exatidão (Item a)
Uma equação da forma $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ é considerada exata se satisfizer a condição $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$.

• Identificamos $M(x, y) = y \cos(x) + 2x e^y$
• Identificamos $N(x, y) = \sin(x) + x^2 e^y - 1$

Calculamos as derivadas parciais:
$$ \frac{\partial M}{\partial y} = \cos(x) + 2x e^y $$
$$ \frac{\partial N}{\partial x} = \cos(x) + 2x e^y $$

Como as derivadas são iguais, a equação é exata.

2. Determinação da Solução Geral (Item b)
Para resolver, procuramos uma função $F(x, y) = C$ tal que suas derivadas parciais coincidam com $M$ e $N$.

Integramos $M$ em relação a $x$:
$$ F(x, y) = \int (y \cos(x) + 2x e^y) dx = y \sin(x) + x^2 e^y + g(y) $$

Derivamos o resultado em relação a $y$ e igualamos a $N$ para achar $g(y)$:
$$ \frac{\partial F}{\partial y} = \sin(x) + x^2 e^y + g'(y) = \sin(x) + x^2 e^y - 1 $$
Isolando $g'(y)$:
$$ g'(y) = -1 \Rightarrow g(y) = -y $$

Substituindo de volta, obtemos a solução geral:
$$ y \sin(x) + x^2 e^y - y = C $$

3. Aplicação da Condição Inicial (Item c)
Utilizamos a condição $y(0) = -2$ para encontrar a constante $C$. Substituímos $x=0$ e $y=-2$ na solução geral:
$$ (-2)\sin(0) + (0)^2 e^{-2} - (-2) = C $$
$$ 0 + 0 + 2 = C \Rightarrow C = 2 $$

Portanto, a solução particular é:
$$ y \sin(x) + x^2 e^y - y = 2 $$

Analise

• Conceito Chave: Equação Diferencial Exata. Requer verificação de igualdade entre derivadas cruzadas ($\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$).
• Técnica de Integração: Ao integrar parcialmente, é necessário adicionar uma função arbitrária da outra variável (ex: ao integrar em $x$, adiciona-se $g(y)$).
• Verificação: A derivação parcial serve como confirmação do processo de integração. Se $\frac{\partial}{\partial y}(F_x) \neq N$, houve erro nos cálculos.
• Constante de Integração: Na resolução de problemas com condições iniciais, a constante $C$ só é determinada após substituir os valores dados no enunciado.

Conclusao

A questão foi resolvida demonstrando a propriedade de exatidão através das derivadas parciais, integrando os termos para formar a função potencial e aplicando a restrição inicial para fixar a constante específica. A resposta final representa a curva integral que passa pelo ponto $(0, -2)$.