Resolva a Parte 2 do problema utilizando apenas matrizes, sem a utilização de sistemas de equações.

Como resolver usando apenas matrizes

O método matricial já é uma forma de resolver o sistema linear. Para evitar resolver o sistema por eliminação, podemos usar a fórmula de solução matricial:

$$\hat{X} = (A^T A)^{-1} A^T Y$$

Passo a passo com matrizes

1. Montar as matrizes A e Y:

• Para os pontos P1(1,1), P2(2,2), P3(3,4):
• Matriz A (coluna 1: 1s, coluna 2: x_i):
  $$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$$
• Vetor Y:
  $$Y = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}$$

2. Calcular A^T A e A^T Y:

• $A^T A = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 14 \end{bmatrix}$
• $A^T Y = \begin{bmatrix} 7 \\ 16 \end{bmatrix}$

3. Inverter A^T A:

• Determinante: $3 \times 14 - 6 \times 6 = 42 - 36 = 6$
• $(A^T A)^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 14 & -6 \\ -6 & 3 \end{bmatrix}$

4. Multiplicar para encontrar X:

• $\hat{X} = (A^T A)^{-1} (A^T Y) = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 14 & -6 \\ -6 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 \\ 16 \end{bmatrix}$
• $\hat{X} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 14 \times 7 + (-6) \times 16 \\ -6 \times 7 + 3 \times 16 \end{bmatrix} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 98 - 96 \\ -42 + 48 \end{bmatrix} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 \\ 1 \end{bmatrix}$

5. Interpretar o resultado:

• $\hat{X} = \begin{bmatrix} b \\ a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 \\ 1 \end{bmatrix}$
• Portanto, a reta é $y = 1 \cdot x + 1/3$ ou $y = x + 1/3$.

Conclusão

Usando apenas operações matriciais (multiplicação, transposição, inversão), encontramos a reta de ajuste sem resolver o sistema por eliminação. A solução é $y = x + \frac{1}{3}$.