Considere a equação 5(cos(θ))² – 11 cos(θ) + 2 = 0. θ ∈ ℝ. Determine o valor de cos(θ), sen(θ) e tg(θ).

Resumo da resposta

O valor de $\cos(\theta)$ é $\frac{1}{5}$. Considerando as propriedades trigonométricas sem restrição de quadrante, os valores possíveis para $\sin(\theta)$ são $\pm \frac{2\sqrt{6}}{5}$ e para $\text{tg}(\theta)$ são $\pm 2\sqrt{6}$.

Resolução Passo a Passo

A questão apresenta uma equação trigonométrica que pode ser resolvida utilizando técnicas de álgebra, tratando a função cosseno como uma incógnita.

Primeiramente, realizamos uma substituição para simplificar a visualização da equação. Sejam $x = \cos(\theta)$, a equação original transforma-se em uma equação do segundo grau padrão:
$$5x^2 - 11x + 2 = 0$$

Para encontrar os valores de $x$, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Onde o discriminante $\Delta$ é calculado da seguinte forma:
$$\Delta = (-11)^2 - 4(5)(2) = 121 - 40 = 81$$

Como $\sqrt{81} = 9$, as duas raízes encontradas são:
$$x' = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$$
$$x'' = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$

Análise

Nesta etapa, é fundamental validar matematicamente as raízes encontradas com base nas propriedades das funções trigonométricas.

• Validação do Cosseno: O valor do cosseno de qualquer ângulo real $\theta$ deve pertencer ao intervalo fechado $[-1, 1]$.
• A raiz $x' = 2$ é inválida, pois $2 > 1$.
• A raiz $x'' = \frac{1}{5}$ é válida, pois $|\frac{1}{5}| < 1$.
• Portanto, concluímos que $\cos(\theta) = \frac{1}{5}$.
• Cálculo do Seno: Utilizamos a identidade fundamental da trigonometria $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$.
  $$ \sin^2(\theta) + \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1 $$
  $$ \sin^2(\theta) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} $$
  $$ \sin(\theta) = \pm \sqrt{\frac{24}{25}} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5} $$
  Obs: O sinal $\pm$ aparece porque não foi informado em qual quadrante o ângulo $\theta$ está.
• Cálculo da Tangente: A tangente é definida como a razão entre o seno e o cosseno.
  $$ \text{tg}(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\pm \frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}} $$
  Simplificando a fração composta, obtemos:
  $$ \text{tg}(\theta) = \pm 2\sqrt{6} $$

Conclusão

A resolução correta exige combinar métodos algébricos (equação do 2º grau) com restrições do domínio das funções trigonométricas. Ao descartar a raiz impossível, isolamos o valor do cosseno e derivamos os demais valores trigonométricos através das relações fundamentais.