Alternativa E - Média aritmética dos números dos tickets distribuídos.
Introdução ao Conceito
A esperança matemática (ou valor esperado) é um conceito fundamental na teoria das probabilidades que representa o resultado médio esperado de um experimento aleatório após muitas repetições. Ela não indica necessariamente um valor que possa ocorrer em uma única tentativa, mas sim o centro de tendência da distribuição.
No contexto de uma distribuição uniforme discreta, onde todos os resultados possíveis têm a mesma probabilidade de ocorrência, a esperança matemática coincide exatamente com a média aritmética dos valores possíveis.
Análise Detalhada
Vamos analisar cada alternativa para entender por que a opção E é a correta:
- A) Número total de tickets: Isso refere-se ao tamanho da amostra ou população ($N=100$), e não à expectativa do número sorteado.
- B) Cor do papel: É uma característica qualitativa irrelevante para cálculos estatísticos numéricos.
- C) Probabilidade de um ticket ser sorteado: Em uma distribuição uniforme de 1 a 100, a probabilidade de qualquer ticket específico é constante ($\frac{1}{100}$). A esperança matemática é um valor numérico dentro do intervalo, não uma probabilidade.
- D) Número exato de um ticket selecionado: A esperança pode ser um valor decimal (ex: 50,5), enquanto os tickets são inteiros. Portanto, ela não representa um número exato possível de se sortear, mas sim a média teórica.
- E) Média aritmética dos números dos tickets: Esta é a definição correta. Para uma variável aleatória $X$ uniforme no intervalo $[a, b]$, o valor esperado é dado pela fórmula:
$$ E[X] = \frac{a + b}{2} $$
Substituindo os valores do problema ($a=1$ e $b=100$):
$$ E[X] = \frac{1 + 100}{2} = 50,5 $$
Este valor (50,5) representa a média aritmética de todos os números disponíveis de 1 a 100.
Conclusão
A natureza da esperança matemática neste contexto é a representação do valor central ou médio dos dados. Como a distribuição é uniforme, todas as chances são iguais, tornando a média ponderada idêntica à média aritmética simples.
Portanto, a alternativa que melhor descreve esse conceito é a Alternativa E.