Em uma pesquisa de opinião a respeito da preferência por determinada marca de sabão em pó, entre 700 pessoas pesquisadas, 210 responderam que usualmente compram a marca M. Qual a porcentagem de pessoas que usualmente compram a marca M na população, com uma confiança de 95%? Faça os cálculos com seis casas decimais e arredonde o resultado final para duas casas decimais.

Resolução da Questão

Resumo da Resposta:
O intervalo de confiança para a proporção populacional é de 26,61% a 33,39%. Isso significa que, com 95% de confiança, a porcentagem real de compradores da marca M na população está entre esses valores.

Desenvolvimento Didático

Este problema trata da Estimação por Intervalo de uma Proporção Populacional. O objetivo é usar dados de uma amostra (pesquisa de opinião) para inferir um comportamento da população total, definindo uma margem de erro aceitável.

1. Identificação dos Dados

Primeiro, extraímos as informações fornecidas no enunciado e na fórmula apresentada na imagem:

• Tamanho da Amostra ($n$): 700 pessoas.
• Número de Sucessos ($x$): 210 pessoas compram a marca M.
• Nível de Confiança: 95%, associado ao valor crítico $Z = 1,96$.
• Proporção Amostral ($\hat{p}$): A fração da amostra que tem a característica estudada.

2. Cálculo da Proporção Amostral ($\hat{p}$)

Calculamos a razão entre quem compra a marca e o total pesquisado:

$$ \hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{210}{700} = 0,3 $$

Ou seja, 30% da amostra prefere a marca.

3. Aplicação da Fórmula do Intervalo

A fórmula fornecida na imagem é:
$$ p = \hat{p} \pm Z_{\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} $$

Vamos calcular cada parte seguindo a regra de manter seis casas decimais nos cálculos intermediários:

• Termo dentro da raiz (Variância da Proporção):
  $$ \frac{0,3 \times (1 - 0,3)}{700} = \frac{0,3 \times 0,7}{700} = \frac{0,21}{700} = 0,000300 $$
• Raiz Quadrada (Erro Padrão):
  $$ \sqrt{0,000300} \approx 0,017321 $$ (Arredondado para 6 casas)
• Margem de Erro ($E$):
  Multiplicamos o erro padrão pelo valor de $Z$:
  $$ E = 1,96 \times 0,017321 \approx 0,033949 $$

4. Determinação do Intervalo

Agora aplicamos a margem de erro à proporção amostral:

• Limite Inferior:
  $$ 0,300000 - 0,033949 = 0,266051 $$
• Limite Superior:
  $$ 0,300000 + 0,033949 = 0,333949 $$

5. Conversão para Porcentagem e Arredondamento Final

Convertendo para porcentagem multiplicando por 100:

• Limite Inferior: $26,6051\%$
• Limite Superior: $33,3949\%$

Conforme solicitado, arredondamos o resultado final para duas casas decimais:

• $26,61\%$
• $33,39\%$

Conclusão

O intervalo de confiança calculado é de 26,61% a 33,39%.