Considere duas variáveis aleatórias discretas X e Y, ambas com distribuição binomial. Sabe-se que: X: (2, p) e Y: (4, p). Se P (X ≥ 1) = 5/9 então P (Y = 1) é:

Alternativa C

O problema envolve duas variáveis aleatórias discretas com distribuição binomial, onde precisamos encontrar o valor da probabilidade de sucesso $p$ primeiro e depois calcular a probabilidade para a segunda variável.

Análise do Problema

Para resolver esta questão, seguiremos dois passos principais:

1. Determinar o valor de $p$: Usaremos a informação dada sobre a variável $X$ para encontrar a probabilidade de sucesso.
2. Calcular $P(Y = 1)$: Com o valor de $p$ conhecido, aplicaremos a fórmula da distribuição binomial para a variável $Y$.

Passo 1: Encontrando a probabilidade de sucesso ($p$)

Sabemos que $X$ segue uma distribuição binomial $b(n, p)$ com $n = 2$. A probabilidade de um evento em uma distribuição binomial é dada por:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

O enunciado nos dá $P(X \geq 1) = \frac{5}{9}$. É mais fácil trabalhar com o evento complementar, pois $P(X \geq 1)$ é igual a 1 menos a probabilidade de não ter nenhum sucesso ($X = 0$):

$$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$$

Substituindo os valores na fórmula para $X = 0$ (onde $n=2$):

$$P(X = 0) = \binom{2}{0} p^0 (1-p)^{2-0} = 1 \cdot 1 \cdot (1-p)^2 = (1-p)^2$$

Agora montamos a equação usando o dado do problema:

$$1 - (1-p)^2 = \frac{5}{9}$$

Isolando $(1-p)^2$:

$$(1-p)^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$$

Tirando a raiz quadrada dos dois lados (lembrando que $1-p$ deve ser positivo, já que $p$ é uma probabilidade):

$$1 - p = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$$

Logo, encontramos $p$:

$$p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$

Passo 2: Calculando $P(Y = 1)$

Agora sabemos que $p = \frac{1}{3}$. A variável $Y$ segue uma distribuição binomial $b(4, p)$, ou seja, $n = 4$ e a probabilidade de sucesso é $\frac{1}{3}$. Queremos calcular a probabilidade de exatamente 1 sucesso ($k=1$):

$$P(Y = 1) = \binom{4}{1} p^1 (1-p)^{4-1}$$

Calculando cada parte:

• O coeficiente binomial $\binom{4}{1} = 4$
• $p^1 = \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}$
• $(1-p)^3 = \left(1 - \frac{1}{3}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$

Multiplicando tudo junto:

$$P(Y = 1) = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{8}{27}$$

$$P(Y = 1) = \frac{32}{81}$$

Portanto, a alternativa correta é a C.