Alternativa A - R$10.615,20
Análise da Questão
Esta questão envolve Matemática Financeira, especificamente o cálculo de Montante com Juros Compostos. O principal desafio aqui é garantir a compatibilidade entre a unidade da taxa de juros e a unidade do tempo de aplicação.
Passo a Passo da Resolução
1. Identificação dos Dados
- Capital Inicial ($C$): R$ 10.000,00
- Taxa de Juros ($i$): 12% ao ano
- Tempo ($n$): 6 meses
2. Compatibilização das Unidades de Tempo
A taxa está dada em "ao ano", mas o prazo é em "meses". Em problemas financeiros, especialmente em bancos, é comum tratar a taxa anual como uma taxa nominal quando o período de aplicação é fracionário (menos de um ano) e a capitalização é mensal.
Para encontrar a taxa mensal equivalente, dividimos a taxa anual pela quantidade de meses no ano:
$$ i_{mensal} = \frac{12\%}{12} = 1\% \text{ ao mês} $$
Em forma decimal:
$$ i = 0,01 $$
3. Aplicação da Fórmula do Montante
A fórmula para juros compostos é:
$$ M = C \times (1 + i)^n $$
Onde:
- $M$ é o Montante (valor final a pagar).
- $C$ é o Capital inicial.
- $i$ é a taxa de juros no período.
- $n$ é o número de períodos.
Substituindo os valores:
$$ M = 10.000 \times (1 + 0,01)^6 $$
$$ M = 10.000 \times (1,01)^6 $$
4. Cálculo Final
Calculando a potência $(1,01)^6$:
$$ (1,01)^6 \approx 1,06152015 $$
Multiplicando pelo capital:
$$ M = 10.000 \times 1,06152015 $$
$$ M = 10.615,2015... $$
Arredondando para duas casas decimais (centavos):
$$ M = \text{R\$ } 10.615,20 $$
Conclusão
O valor da dívida ao final do período é de R$ 10.615,20, o que corresponde exatamente à Alternativa A.