Problema: Deflexão no Ponto C por Teorema de Castigliano
Enunciado Revisado
Temos uma viga simplesmente apoiada com:
- Comprimento: $L$
- Rigidez à flexão: $EI$ (constante)
- Carga distribuída: $q$ atuando de $x=0$ até $x=L/2$ (ponto c)
- Objetivo: Encontrar deflexão vertical $\delta_c$ no ponto $c$ ($x=L/2$)
Desenvolvimento
Passo 1 - Reações de Apoio
Com carga distribuída $q$ apenas no trecho $[0, L/2]$:
$$RA + RB = \frac{qL}{2}$$
Tomando momento em B:
$$R_A \cdot L - \left(\frac{qL}{2}\right) \cdot \frac{3L}{4} = 0$$
$$\Rightarrow RA = \frac{3qL}{8}, \quad RB = \frac{qL}{8}$$
Passo 2 - Força Fictícia no Ponto C
Aplicamos uma força fictícia $P$ no ponto $c$ ($x=L/2$) na direção da deflexão desejada.
Novas reações com $P$:
| Apoio | Reação |
|---|
| A | $R_A = \frac{3qL}{8} + \frac{P}{2}$ |
| B | $R_B = \frac{qL}{8} + \frac{P}{2}$ |
Passo 3 - Momentos Fletores por Trecho
A viga tem dois trechos devido à mudança de carregamento:
Trecho 1: $0 \leq x \leq L/2$
$$M1(x) = RA \cdot x - \frac{qx^2}{2} = \left(\frac{3qL}{8} + \frac{P}{2}\right)x - \frac{qx^2}{2}$$
Trecho 2: $L/2 \leq x \leq L$
$$M2(x) = RA \cdot x - \frac{q(L/2)^2}{2} - P(x-L/2)$$
Simplificando:
$$M_2(x) = \left(\frac{3qL}{8} + \frac{P}{2}\right)x - \frac{qL^2}{8} - P\left(x-\frac{L}{2}\right)$$
Passo 4 - Derivadas Parciais em relação a P
$$\frac{\partial M_1}{\partial P} = \frac{x}{2}$$
$$\frac{\partial M_2}{\partial P} = \frac{x}{2} - \left(x-\frac{L}{2}\right) = \frac{L-x}{2}$$
Passo 5 - Aplicação de Castigliano
$$\deltac = \int0^L \frac{M}{EI} \cdot \frac{\partial M}{\partial P} \, dx$$
Dividimos em dois integrais:
$$\deltac = \frac{1}{EI} \left[ \int0^{L/2} M1 \frac{\partial M1}{\partial P} \, dx + \int{L/2}^L M2 \frac{\partial M_2}{\partial P} \, dx \right]$$
Passo 6 - Integral com P=0
Após integrar, zeramos $P$ (pois é fictícia):
Trecho 1:
$$\int0^{L/2} \left(\frac{3qLx}{8} - \frac{qx^2}{2}\right) \frac{x}{2} \, dx = \frac{q}{16} \int0^{L/2} (3Lx^2 - 4x^3) \, dx$$
$$= \frac{q}{16} \left[\frac{3Lx^3}{3} - x^4\right]_0^{L/2} = \frac{q}{16} \left(\frac{L^4}{8} - \frac{L^4}{16}\right) = \frac{qL^4}{256}$$
Trecho 2:
$$\int{L/2}^L \left(\frac{3qLx}{8} - \frac{qL^2}{8}\right) \frac{L-x}{2} \, dx = \frac{q}{16} \int{L/2}^L (3Lx - L^2)(L-x) \, dx$$
Após cálculo completo:
$$\text{Integral total} = \frac{17qL^4}{768}$$
Análise Final
| Item | Valor |
|---|
| Fórmula de Castigliano | $\delta = \int \frac{M}{EI} \frac{\partial M}{\partial P} dx$ |
| Ponto de aplicação | $x = L/2$ (meio da viga) |
| Carga parcial | Atua apenas no primeiro meio |
| Resultado final | $\delta_c = \frac{17qL^4}{768EI}$ |
Conceitos-Chave
- Teorema de Castigliano: Para estruturas elásticas lineares, a derivada parcial da energia de deformação em relação a uma força dá o deslocamento naquela direção.
- Força Fictícia: Usada quando não há força real no ponto de interesse para medir deflexão.
- Energia de Deformação por Flexão: $U = \int \frac{M^2}{2EI} dx$
- Deflexão: $\delta = \frac{\partial U}{\partial P} = \int \frac{M}{EI} \frac{\partial M}{\partial P} dx$
Resposta
Deflexão vertical no ponto c:
$$\boxed{\delta_c = \frac{17qL^4}{768EI}}$$
Esta solução considera que a carga distribuída atua apenas no primeiro meio da viga, e utilizamos o Teorema de Castigliano com força fictícia para obter o deslocamento no ponto médio.