A treliça da figura é constituída por barras circulares de 100 mm de diâmetro. Determine, com segurança igual a 2, a máxima carga P que se pode aplicar na estrutura.

Resumo da Resposta

A máxima carga $P$ que pode ser aplicada na estrutura é de aproximadamente 50,6 kN, sendo controlada pelo critério de flambagem da barra BC devido ao seu elevado esbeltez.

Desenvolvimento Detalhado

Para resolver este problema de resistência dos materiais e estática, seguiremos os seguintes passos: cálculo das propriedades da seção transversal, determinação das forças internas nas barras através do equilíbrio estático e verificação dos critérios de falha (escoamento e flambagem).

1. Propriedades da Seção Transversal

As barras são circulares com diâmetro $d = 100 \text{ mm} = 0,1 \text{ m}$.

• Área ($A$):
  $$A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0,1)^2}{4} \approx 7,854 \times 10^{-3} \text{ m}^2$$
• Momento de Inércia ($I$):
  $$I = \frac{\pi d^4}{64} = \frac{\pi (0,1)^4}{64} \approx 4,909 \times 10^{-6} \text{ m}^4$$
• Raio de Giriação ($r$):
  $$r = \frac{d}{4} = 0,025 \text{ m}$$

2. Análise Estática (Equilíbrio no Nó B)

Aplicamos o equilíbrio de forças no nó B onde a carga $P$ atua para baixo. Ambas as barras estão comprimidas para suportar a carga.

• Comprimento da barra AB ($L_{AB}$):
  $$L_{AB} = \frac{3}{\cos(45^\circ)} \approx 4,243 \text{ m}$$
• Comprimento da barra BC ($L_{BC}$):
  $$L_{BC} = \frac{3}{\sin(16^\circ)} \approx 10,883 \text{ m}$$

Relações de força baseadas no equilíbrio ($\sum Fx = 0$ e $\sum Fy = 0$):

1. $\sum Fx = F{BC} \cos(16^\circ) - F{AB} \cos(45^\circ) = 0 \Rightarrow F{AB} = F_{BC} \frac{\cos(16^\circ)}{\cos(45^\circ)}$
2. $\sum Fy = F{AB} \sin(45^\circ) + F_{BC} \sin(16^\circ) = P$

Substituindo (1) em (2), obtemos $F_{BC}$ em função de $P$:
$$F_{BC} (\cos(16^\circ)\tan(45^\circ) + \sin(16^\circ)) = P$$
$$F_{BC} = \frac{P}{\cos(16^\circ) + \sin(16^\circ)} \approx \frac{P}{1,237} \approx 0,808 P$$
$$F_{AB} \approx 1,10 P$$

3. Verificação de Flambagem (Euler)

Verificamos a carga crítica de flambagem $P{cr}$ para ambas as barras usando a fórmula de Euler ($P{cr} = \frac{\pi^2 E I}{L^2}$), dado que o índice de esbeltez é alto.

• Barra BC (Mais esbelta e crítica):
  $$P_{cr, BC} = \frac{\pi^2 (200 \times 10^9) (4,909 \times 10^{-6})}{(10,883)^2} \approx 81,75 \text{ kN}$$
  Com fator de segurança $n=2$:
  $$F_{BC, adm} = \frac{81,75}{2} = 40,87 \text{ kN}$$
  Determinando $P$ para esta condição:
  $$0,808 P \leq 40,87 \Rightarrow P \leq 50,6 \text{ kN}$$
• Barra AB:
  $$P_{cr, AB} = \frac{\pi^2 (200 \times 10^9) (4,909 \times 10^{-6})}{(4,243)^2} \approx 537,9 \text{ kN}$$
  $$F_{AB, adm} = \frac{537,9}{2} = 268,9 \text{ kN}$$
  $$1,10 P \leq 268,9 \Rightarrow P \leq 244,4 \text{ kN}$$

Conclusão

O valor limite é determinado pela menor capacidade entre as duas barras. Como a barra BC é muito mais longa, ela flamba sob uma carga muito menor. Portanto, a carga máxima admissível é limitada pela barra BC.

Alternativa correta (se houvesse opções): O resultado seria próximo de 50,6 kN.