Alternativa B - A proposição P é logicamente equivalente à proposição Q pela propriedade antissimétrica.
Análise da Questão
Para resolver esta questão, precisamos entender a relação entre implicação lógica e equivalência lógica, bem como as propriedades das relações matemáticas aplicadas à lógica proposicional.
1. Definição de Equivalência Lógica
Duas proposições $P$ e $Q$ são consideradas logicamente equivalentes ($P \Leftrightarrow Q$) se, e somente se, elas possuem os mesmos valores verdade em todas as situações possíveis. Isso ocorre quando há uma implicação mútua:
- Se $P$ implica $Q$ ($P \Rightarrow Q$)
- E se $Q$ implica $P$ ($Q \Rightarrow P$)
2. Propriedades das Relações
Na lógica e na teoria dos conjuntos, a implicação ($\Rightarrow$) pode ser tratada como uma relação de ordem parcial (ou pré-ordem). As propriedades fundamentais dessas relações são:
| Propriedade | Descrição | Exemplo na Lógica |
|---|
| Reflexiva | Todo elemento se relaciona consigo mesmo. | $P \Rightarrow P$ |
| Transitiva | Se A implica B e B implica C, então A implica C. | $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow R) \Rightarrow (P \Rightarrow R)$ |
| Antissimétrica | Se A implica B e B implica A, então A é igual (equivalente) a B. | $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P) \Rightarrow P \Leftrightarrow Q$ |
3. Aplicação ao Enunciado
O enunciado afirma explicitamente que temos ambas as direções: $P \Rightarrow Q$ e $Q \Rightarrow P$.
- Quando duas proposições se implicam mutuamente, concluímos que elas são equivalentes.
- O princípio lógico que valida essa conclusão (transformando a relação dupla de implicação em identidade/equivalência) é a antissimetria.
Isso é análogo à teoria dos conjuntos: se o conjunto $A$ está contido em $B$ ($A \subseteq B$) e $B$ está contido em $A$ ($B \subseteq A$), então $A = B$. Essa conclusão só é possível devido à propriedade antissimétrica da relação de inclusão.
Conclusão
As outras alternativas estão incorretas porque:
- Reflexiva exigiria apenas $P \Rightarrow P$.
- Transitiva exigiria uma cadeia de três proposições ($P \Rightarrow Q \Rightarrow R$).
- Comutativa refere-se à troca de ordem em operadores (como $P \land Q = Q \land P$), não à relação de implicação entre duas proposições distintas.
- Não equivalente é falsa, pois a implicação mútua define a equivalência.
Portanto, a resposta correta é a Alternativa B.