As equações diferenciais ordinárias de segunda ordem (EDOs de segunda ordem) são equações muito recorrentes nas avaliações de processos físicos, que envolvem um grandeza e suas variações, como em problemas envolvendo posição, velocidade e aceleração. Nesse sentido, é importante saber reconhecê-las. Averigue as EDOs abaixo: I – A equação x²⋅d²y/dx² + y = 0 é uma EDO de segunda ordem II – A equação d²y/dx² = (dy/dx)² + y = 0 é uma EDO de segunda ordem III – A equação d²y/dx² - dy/dx + y² = 2 é uma EDO de segunda ordem É correto o que se afirma em

Alternativa: Todas as afirmativas (I, II e III)

Como as opções de múltipla escolha (A, B, C, D, E) não foram totalmente visíveis na imagem, a resposta correta baseia-se na análise matemática rigorosa das três afirmações apresentadas. Todas elas descrevem corretamente equações diferenciais ordinárias de segunda ordem.

Definição de Ordem de uma EDO

A ordem de uma equação diferencial é determinada exclusivamente pela maior derivada presente na equação. Não importa se a equação é linear ou não, nem a potência das variáveis dependentes ou independentes; o critério é a ordem da derivada mais elevada.

• Se a maior derivada for y'' (ou \frac{d^2y}{dx^2}), a ordem é 2.
• Se a maior derivada for y''' (ou \frac{d^3y}{dx^3}), a ordem é 3.
• Termos como (y')^2 ou y^2 afetam a linearidade, mas não alteram a ordem.

Análise Detalhada

Vamos verificar cada afirmação individualmente:

• Afirmação I: x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + y = 0
• A maior derivada presente é \frac{d^2y}{dx^2}.
• Portanto, trata-se de uma EDOS de segunda ordem.
• Veredito: Correta.
• Afirmação II: \frac{d^2y}{dx^2} + (\frac{dy}{dx})^2 + y = 0
• A maior derivada presente é \frac{d^2y}{dx^2}.
• O termo (\frac{dy}{dx})^2 eleva a primeira derivada ao quadrado, tornando a equação não linear, mas a ordem continua sendo definida pela derivada de segunda ordem.
• Veredito: Correta.
• Afirmação III: \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + y^2 = 2
• A maior derivada presente é \frac{d^2y}{dx^2}.
• O termo y^2 refere-se à função dependente, não a uma derivada superior. A ordem permanece 2.
• Veredito: Correta.

Resumo Comparativo

Em todos os casos, a presença da derivada de segunda ordem como a mais alta garante que as equações sejam classificadas como EDOs de segunda ordem.

Portanto, as afirmações I, II e III estão corretas. Em um teste padrão onde a opção "Todas as anteriores" ou "I, II e III" está disponível, esta seria a alternativa correta.