Uma pequena esfera é solta do ponto 𝐴 e desliza por uma superfície perfeitamente lisa até sair em 𝐵,

Introdução

Você já tem a fórmula do alcance: s = 2√[h(H-h)]. O objetivo é encontrar o máximo valor de s quando a altura h de B pode ser ajustada.

Desenvolvimento

Para maximizar s, precisamos maximizar a expressão dentro da raiz quadrada: f(h) = h(H-h).

• Essa é uma função quadrática (parábola) que tem seu ponto máximo no vértice.
• O vértice de uma função do tipo ah² + bh + c ocorre em h = -b/(2a).
• Na função f(h) = -h² + Hh, temos a = -1, b = H. Logo, **h = -H/(2*(-1)) = H/2**.

Análise

• h = H/2 é a altura que maximiza o alcance.
• Substituindo na fórmula: s_max = 2√[(H/2)(H - H/2)] = 2√[(H/2)(H/2)] = 2√(H²/4).
• Simplificando: **s_max = 2*(H/2) = H**.

Conclusão

O maior valor possível de s é H. Isso significa que, quando a altura de B é exatamente a metade da altura total H, o alcance horizontal atinge seu valor máximo, que é igual à própria altura inicial.